分散・共分散の展開

数学

　大学院ゼミの宿題。Jencks and Tach（2006）の43頁にある式の証明。

（１）　{\rm Var}(\ln Y)={\rm Var}(\ln V)+{\rm Var}(\ln G)+2{\rm Crov}(\ln V,\ln G)


（２）　{\rm Cov}(\ln Y{p},\ln Y_{c})={\rm Cov}(\ln V_{p},\ln V_{c})+{\rm Cov}(\ln V_{p},\ln G_{c})
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+{\rm Cov}(\ln V_{c},\ln G_{p})+{\rm Cov}(\ln G_{p},\ln G_{c})


　\ln Y_{i}=\ln V_{i}+\ln G_{i}
とする。
　{\rm Var}(\ln Y_{i})=\frac{\sum(\ln Y_{i}-\ln \bar{Y})^2}{N}
　{\rm Var}(\ln Y_{i})=\frac{\sum\{(\ln V_{i}+\ln G_{i})-(\ln \bar{V}+\ln \bar{G})\}^2}{N}
　{\rm Var}(\ln Y_{i})=\frac{\sum\{(\ln V_{i}-\ln \bar{V})+(\ln G_{i}-\ln \bar{G})\}^2}{N}
　{\rm Var}(\ln Y_{i})=\frac{\sum\{(\ln V_{i}-\ln \bar{V})^2+2(\ln V_{i}-\ln \bar{V})(\ln G_{i}-\ln \bar{G})+(\ln G_{i}-\ln \bar{G})^2\}}{N}
　{\rm Var}(\ln Y_{i})=\frac{\sum(\ln V_{i}-\ln \bar{V})^2}{N}+\frac{\sum(\ln G_{i}-\ln \bar{G})^2}{N}+2\frac{\sum(\ln V_{i}-\ln \bar{V})(\ln G_{i}-\ln \bar{G})}{N}
　{\rm Var}(\ln Y_{i})={\rm Var}(\ln V_{i})+{\rm Var}(\ln G_{i})+2{\rm Cov}(\ln V_{i},\ln G_{i})
　以上、式（１）の証明終わり。

　{\rm Cov}(\ln Y{p},\ln Y_{c})=\frac{\sum(\ln Y{p}-\ln \bar{Y}{p})(\ln Y{c}-\ln \bar{Y}{c})}{N}
　{\rm Cov}(\ln Y{p},\ln Y_{c})=\frac{\sum\{(\ln V_{p}+\ln G_{p})-(\ln \bar{V}_{p}+\ln \bar{G}_{p})\}\{(\ln V_{c}+\ln G_{c})-(\ln \bar{V}_{c}+\ln \bar{G}_{c})\}}{N}
　{\rm Cov}(\ln Y{p},\ln Y_{c})=\frac{\sum\{(\ln V_{p}-\ln \bar{V}_{p})+(\ln G_{p}-\ln \bar{G}_{p})\}\{(\ln V_{c}-\ln \bar{V}_{c})+(\ln G_{c}-\ln \bar{G}_{c})\}}{N}
　{\rm Cov}(\ln Y{p},\ln Y_{c})=\frac{\sum\{(\ln V_{p}-\ln \bar{V}_{p})(\ln V_{c}-\ln \bar{V}_{c})+(\ln V_{p}-\ln \bar{V}_{p})(\ln G_{c}-\ln \bar{G}_{c})\}}{N}
　　　　　　　　　　　　　　　　+\frac{\sum\{(\ln G_{p}-\ln \bar{G}_{p})(\ln V_{c}-\ln \bar{V}_{c})+(\ln G_{p}-\ln \bar{G}_{p})(\ln G_{c}-\ln \bar{G}_{c})\}}{N}
　{\rm Cov}(\ln Y{p},\ln Y_{c})=\frac{\sum\{(\ln V_{p}-\ln \bar{V}_{p})(\ln V_{c}-\ln \bar{V}_{c})}{N}+\frac{\sum(\ln V_{p}-\ln \bar{V}_{p})(\ln G_{c}-\ln \bar{G}_{c})}{N}
　　　　　　　　　　　　　　　　+\frac{\sum(\ln V_{c}-\ln \bar{V}_{c})(\ln G_{p}-\ln \bar{G}_{p})}{N}+\frac{\sum(\ln G_{p}-\ln \bar{G}_{p})(\ln G_{c}-\ln \bar{G}_{c})}{N}
　{\rm Cov}(\ln Y{p},\ln Y_{c})={\rm Cov}(\ln V_{p},\ln V_{c})+{\rm Cov}(\ln V_{p},\ln G_{c})
　　　　　　　　　　　　　　　　　 +{\rm Cov}(\ln V_{c},\ln G_{p})+{\rm Cov}(\ln G_{p},\ln G_{c})
　以上、式（２）の証明終わり。